通过扩散思维，解几何难题

扩散一：如图，点M、N分别在正方形ABCD边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求∠MAN。

思路：要求的∠MAN在图形中间，不易与边建立关系，这时通过旋转变换，使条件集中在一块，便与边建立了关系，思路即可打开。
    如图1所示，将△ABM绕A点逆时针方向旋转90°，边AB落在AD上，M点到M′点

图1

    ∵∠ADM′=∠ABM=90°
    ∴∠NDM′=∠NDA＋∠ADM′=180°
    ∴N、D、M′在一条直线上
    在△ANM′和△ANM中，AM′=AM，AN=AN．
    ∵△MCN的周长=正方形ABCD周长的一半=BC＋CD,
    ∴MN=BM＋ND=M′N
    ∴ANM′≌ANM

扩散二(逆向扩散)：如图2，已知：P、Q分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=BP＋DQ。

思路：仿扩散一，采旋转法，将△ADQ绕A点顺时针方向旋转90°，边AD落在AB上，D点到E点。
    ∵∠ABE=∠ADQ=90°，AE=AQ，BE=DQ
    ∴∠PBE=∠ABE＋∠ABP=180°
    ∴P、B、E在一条直线上
    ∵∠PAQ=45°，∴∠BAP＋∠DAQ=45°
    ∵∠BAE=∠DAQ，∠BAP＋∠BAE=45°
    即∠EAP=45°，∴∠PAQ=∠EAP
    ∵AE=AQ，AP=AP
    ∴△EAP≌△PAQ
    ∴PQ=PE=PB＋DQ
扩散三：如图3，已知：正方形ABCD，P为BC上一点，AQ平分∠PAD交CD于Q，求证：AP=BP＋DQ。

思路：求线段的和差问题，通常采用取延长或截割，从而可找到解题思路。如本例，延长CB到点E且使BE=DQ，因为ABCD为正方形，
    ∴AB=AD，∠ABE=∠ADQ=90°
    ∴△ABE≌△ADQ
    ∴∠3=∠1，∠AEB=∠4
    ∵正方形ABCD
    ∴AB∥DC，∴∠4=∠2＋∠5
    ∵AQ平分∠PAD，∴∠1=∠2
    ∴∠AEB=∠4=∠1＋∠5=∠3＋∠5
    ∴AP=PE=PB＋BE
    ∴AP=BP＋DQ
    本例亦可采取旋转法，也可采取截取法（如在QP上截取PE=PB，……），再进行两种扩散。

扩散四（扩散的逆向扩散）：正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC＋CE，求证：AF平分∠DAE。
思路一：研究角的平分线问题，常采用构造等腰三角形，证明其底边中线即可 。如本例可构造△AEG为等腰三角形，即可找到最佳思路。
    如图4，连EF，并延长交AD的延长线于G，在Rt△FDG和Rt△FCE中

    ∵FD=FC，∠1=∠2
    ∴△FDG≌△FCE
    ∴CE=DG，EF=FG
    ∴AG=AD＋DG=DC＋CE=AE，
    ∴AF是等腰△AEG底边上的中线
    ∴AF平分∠DAE
思路二：根据揭示的思路一（如图5）构造等腰△AEG，亦可获得结论。

扩散五：如图6，在正方形ABCD中，E在CD上，且AE=EC＋BC，M是CD的中点，求证：∠BAE=2∠DAM。

思路：一般角的倍分问题，常把大角一分为二，分成两个小角。证其中一个小角等于这个角，即转化为证明两角相等问题，进而转化为证明三角形全等问题 ，再构造全等三角形，思路便一目了然了。
    作∠BAE的平分线，交DC的延长线于F
    ∵DF∥AB，∴∠1=∠AFE
    ∵∠1=∠2，∴∠2=∠AFE
    ∴AE=EF
    ∵AE=EC＋BC，EF=EC＋CF
    ∴BC=CF，∵AB=BC，∴AB=CF
    ∴△ABN≌△FCN
    ∴CN=BN，即N是BC中点
    在△ADM与△ABN中

    ∴△ABN≌△ADM   

    故∠BAE=2∠DAM

思路：对于正方形的有关证明问题，采取计算的方法也是比较好的思路，借助几何图形及有关定理，建立起关系式，再应用代数计算，便于达到目的。数形配合，一目了然。
    （1）设正方形ABCD的边长是4，依题意可知：AE=BE=2，AF=1，DF=3，由勾股定理，得   

CF=		=		=	5
EF=
EC=

    ∴FC²=CE²＋EF²
    ∴△CEF为Rt△   

∴EG=

=2

    ∴EB=EG，又∵BE⊥BC，EG⊥CF
    ∴CE平分∠BCF
    （2）根据对称可知：CG=CB=4，∴FG=1
    ∴CG•FG=4×1=4

    对本例还可用构造等腰三角形的方法解。
　

小结:在思维方法上，通过扩散一～六，学习了转化法、构造法、计算法、数形结合法，截短加长法等．这些思维方法的获取，都是通过扩散思维得来的 。思维扩散是以少胜多的好方法，可收到事半功倍之效。然而要想思维扩散的好，对课本上学习的定义、定理、推论要理解、熟记、并要举一反三．要善于多思 。在想问题时，即要想基础知识，又要想问题正、反两个方向．与纵的有何关系，与横的有何联系，再用运动的观点去思考，数与形的角度去思考，沿着不同角度去思考，达到由量变到质变，你的思维扩散能力将会不断提高。