欢迎访问严晶的个人主页

首 页>>数学解题思路：模拟法

今天是：

数学解题思路：模拟法

    数学问题往往比较抽象，但有的数学问题有明显的物理意义，我们就可以利用一个物理装置把一个数学问题转化成为一个物理问题，从而求得解答。这种解决问题的方法叫模拟法。
    例如：下图表示一个交通示意图，小圈表示城镇，小圈间的连线表示通路，连线旁的数字表示城镇间距离．求A至B的最短路。

    【分析】 这个问题在“图论”中叫最短路问题。初看起来，似乎很简单，但要想通过找出A至B的所有通路，比较它们的长度来确定A至B的最短路，那将是不胜其烦的。在图论中已有了行之有效的办法来解这类问题，但在普教阶段，显然不现实。这里介绍一种简易的模拟解决法。
    取若干条细线，按上图所示相连结，结点是图上的小圈。小圈间连线是细线的长。要求A、B间的最短路，只要把结A与结B各往外拉，则A与B间那些拉紧了的细线(上图以加粗线表示)就表示最短路。道理 很明显。
    又如：如下图所示，定点A和B分别在定直线L两侧，AC⊥L，BD⊥L，C、D是垂足，M是CD内的点，p和q是已知的正数。试证当p·AM + q·BM最小时，有 p·sin∠CAM=q·sin∠DBM　。

    【分析】 我们设计如右图所示的一个力学装置来辅助证明这命题。

    假设，L是一根水平放置的紧张而光滑的铁丝，两个滑轮A、B放置在过L的同一平面上且在L的两侧；L代表题中的定直线，A、B为题中的定点。在铁丝上套一个小环，环上系两根长L₁与L₂的细线，其中一根线绕过滑轮A，一端挂上重量为p的砝码P_1；另一根线绕过滑轮B，一端挂上一个重量为q的砝码P₂ 。假定铁丝不弯曲，小环和铁丝没有摩擦，可自由滑动，线和小环的重量可忽略，L₁和L₂不伸长，我们说，这个力学装置处于平衡状态 时与p·AM + q·BM达到最小是等价的。而由这个力学装置处于平衡状态，便能得出p·sin∠CAM=q·sin∠DBM 。

    我们先说明，这个力学装置处于平衡状态，与p·AM + q·BM达到最小是等价的。因为根据力学原理，我们这个力学装置处在平衡状态的充要条件是这组装置的总重心最低。当小环在M点时，若设L、A、B所在水平面距地面高度为H，则砝码P，则砝码P₁、P₂到地面的距离h₁和h₂分别是：
    h₁ = H - (L₁- AM)， h₂ = H - (L₂- BM)。
    于是整个装置的总重心离地面的高度是：

    所以装置处于平衡状态与h达到最小是等价的，而h达到最小与pAM+qBM达到最小也是等价的。
    今题设pAM + qBM取最小值，即h最小，亦即上述装置达到平衡状态。这时作用在M点的合力为0，所以小环M所受MA和MB的拉力，在上右图中的分力方向相反且大小相等：p·g·sin∠CAM=q·g·sin∠DBM。其中g为重力加速度。所以p·sin∠CAM=q·sin∠DBM。
    采用这种方法解数学题，一要题目能用物理过程来模拟，二要做题者有一定的物理思维，否则很难转化。